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Gravitazione ed Espansione dell'universo |
Con Hubble e la scoperta dell'universo in espansione
ci siamo occupati, magari senza
accorgercene, del lato "cinematico" dell'espansione, descrivendo il moto senza però
curarci di cosa lo determina.
Se vogliamo andare a vedere cosa scatena ed incide sull'espansione dell'universo
occorre addentrarci nel mondo della gravità.
Studiando le cause, infatti, è possibile capire non soltanto cosa sta accadendo
all'universo, ma anche e soprattutto come andrà a finire.
Il primo ad affrontare il problema fu, neanche a dirlo, Isaac Newton. Secondo
il grande matematico, così come espresse lui stesso in una lettera a Richard Bentley,
se la materia fosse distribuita in modo uniforme in una regione finita, tenderebbe
a cadere tutta verso il centro componendo una grande massa sferica. Al contrario,
se la materia fosse dispersa in modo uniforme attraverso uno spazio infinito, non
ci sarebbe alcun centro verso cui potrebbe cadere ed in tal caso potrebbe contrarsi
dando origine ad un numero infinito di masse materiali disseminate nell'universo.
Da questa soluzione potrebbe aver tratto origine il Sole e le altre stelle, secondo
Newton.
LA RELATIVITA' GENERALE E LA COSTANTE COSMOLOGICA DI EINSTEIN
Proprio il trovarsi di fronte alla dinamica di un mezzo infinito bloccò Newton
e
tutti gli altri, fino all'avvento della Relatività Generale di
Einstein, basata sulla geometria non euclidea e finalizzata a spiegare
la gravitazione come un effetto della curvatura dello spazio-tempo.
Lo stesso Einstein, nel 1917, cercò una soluzione delle sue equazioni tale da assicurare
un risultato in linea con l'idea del tempo: una soluzione omogenea, isotropa e
statica. Non c'era soluzione, quindi fu costretto ad inserire nei conteggi
una costante cosmologica in grado di equilibrare e controbilanciare
l'attrazione gravitazionale a grandi distanze. Gravissimo errore quello di Einstein,
come lui stesso ebbe modo di ammettere.
Sempre nel 1917, l'astronomo olandese W. de Sitter tentò un'altra soluzione
delle equazioni di Einstein, giungendo ad un modello apparentemente statico e quindi
generalmente accettato, ma al tempo stesso prevedeva spostamenti verso il rosso
dei corpi celesti proporzionali alla loro distanza. Le scoperte di Hubble
ovviamente
fecero vivere un momento magico alle soluzioni di de Sitter,
che forse ispirarono
anche le stesse scoperte e le ricerche di Hubble.
In realtà il modello di de Sitter
non era affatto statico visto che con il tempo la distanza tra gli osservatori aumentava,
e proprio questo aumento generava lo spostamento verso il rosso.
LA RECESSIONE DELLE GALASSIE E L'ELIMINAZIONE DELLA COSTANTE COSMOLOGICA
La scoperta di Hubble, nel 1929, ebbe il merito di promuovere la ricerca di soluzioni
omogenee, isotrope e NON statiche. Non c'era affatto bisogno della costante cosmologica.
Le soluzioni giuste furono trovate da un matematico russo, Aleksandr Friedmann,
che non si basò sui modelli di Einstein
o di de Sitter ma direttamente sulle equazioni
di Einstein.
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i modelli di FriedmanN |
Aleksandr Friedmann (o Fridman) è un fisico russo che ebbe il merito di prendere le equazioni
della Relatività Generale
e non contaminarle con costanti cosmologiche
in modo da tenere l'universo sottoforma stazionaria.
Friedmann, sulla base delle sue teorie, giunse ad un solo modello
ma in realtà è possibile ricavarne altri due dalle equazioni, giungendo a varie
configurazioni di universo che implicano varie evoluzioni che l'universo stesso
può intraprendere. Importante ricordare che i modelli di Fridman sono soluzioni
date alle equazioni della relatività generale modificando parametri
quali - ad esempio - la densità della materia nell'universo.
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Espansione e Relatività Generale: modelli di Fridman |
Le ipotesi avanzate da Fridman per il proprio modello furono essenzialmente
due:
1. l'universo è identico in qualunque punto lo osserviamo;
2. il punto 1 vale per un qualsiasi punto dell'universo preso come
punto di osservazione, quindi non solo per l'osservatore terrestre.
Come si vede, si tratta delle ipotesi che vanno sotto il nome di principio cosmologico.
Sulla base di queste semplici ipotesi Fridman dimostrò che l'universo
non è statico, e lo fece nel 1922 cioè prima che Hubble
ne avesse
evidenza empirica scoprendo il redshift
delle galassie
lontane. Nel modello di Fridman tutte le galassie si allontanano
tra loro in maniera diretta e più le galassie sono lontane e più si allontanano
velocemente, il che combacia esattamente con quanto scoperto da Hubble
sette anni dopo.
Il lavoro di Fridman rimase per una decina di anni senza esito, ma dopo la scoperta
di Hubble l'espansione dell'universo tornò di moda. Il suo modello fu così analizzato
di nuovo e fu preso come base per tirarne fuori altri due. Resta comunque inteso
che i modelli di Fridman sono soluzioni alle
equazioni della Relatività Generale di Einstein, con la differenza legata al fatto di non tener conto della costante cosmologica prevenuta del grande Albert.
A dire il vero i modelli sono spiegati in modo semplice anche senza ricorrere alla
Relatività. Seguono lo stesso principio di un sasso lanciato in aria dalla Terra.
Se lo lanciamo ad una velocità sufficiente a sfuggire alla gravità terrestre il
sasso lascerà la Terra, ma se non ci riusciamo il sasso ricadrà a terra attratto
dalla forza esercitata dal nostro pianeta. In tutti e due i casi non ci meravigliamo
(a parte la forza sovrumana del primo caso): vedere un sasso salire o scendere non
è di certo una cosa strana. Sarebbe strano, invece, vederlo fermo in aria! Allo
stesso modo, sarebbe strano vedere un universo statico, che non si espande né si
restringe. La normalità per un sistema sottoposto a gravità è quindi espandersi
o restringersi, e non restare fermo.
Da cosa dipende quindi il fatto che il sasso continui a salire oppure scenda di
nuovo? Di certo non dal fatto che la Terra lo respinge, ma da una forza che gli
viene impressa nel momento in cui viene scagliato in alto.
Per l'universo vale la stessa cosa: l'espansione dipende da una esplosione avvenuta
tempo fa e che ancora oggi fa si che i sassi, rappresentati dalle galassie, si allontanino
dalla Terra, che sarebbe il punto dell'esplosione. Ma fino a quando le galassie
continueranno ad allontanarsi? Dipende dalla forza impressa dall'esplosione e dalla
attrazione gravitazionale della massa che fa parte dell'universo. E' un gioco di
equilibri: se la densità di materia dell'universo è minore o uguale rispetto ad
un certo valore critico, allora l'universo è spazialmente infinito e tende ad espandersi
per sempre. Se invece la densità è maggiore si arriverà al punto in cui la gravità
frenerà e arresterà l'espansione fino a che riuscirà a curvare l'universo su sé
stesso dandogli la forma di una sfera, finita ma illimitata. L'implosione che ne
segue porterà ad una densità indefinitamente grande.
IL TEOREMA DI BIRKHOFF E LA DENSITA' MEDIA
Ipotizziamo di trovarci al centro di una sfera, e di avere una galassia proprio
sulla superficie della sfera. La galassia, quindi, sarà lontana da noi ad una distanza
pari al raggio della sfera. Il moto di questa galassia è quello che sarebbe se la
massa dell'universo constasse solo della materia contenuta in questa sfera e se
all'esterno non ci fosse nulla. Per calcolare il moto della galassia relativamente
a noi basta tener conto della massa contenuta all'interno della sfera la cui superficie
passa per la galassia stessa. Se la galassia non è troppo lontana dal centro, il
campo gravitazionale della materia contenuta nella sfera sarà tale da consentire
il calcolo del moto di A mediante la semplice applicazione delle formule della meccanica
newtoniana.
Possiamo usare il Teorema di Birkhoff per calcolare la densità critica
dei modelli di Fridman. La massa delle galassie all'interno della sfera ci indica
la velocità di fuga della galassia posta sulla sua superficie, velocità oltre la
quale la galassia riuscirà ad evadere nell'infinito dello spazio. La velocità è
proporzionale al raggio della sfera: maggiore è la sfera e maggiore deve essere
la velocità per sfuggire alla sua attrazione. Tuttavia la Legge di Hubble
ci dice
che anche la velocità di una galassia alla superficie della sfera è proporzionale
al raggio della stessa e quindi alla distanza da noi. Così, anche se la velocità
di fuga dipende dal raggio, il rapporto tra velocità reale e velocità
di fuga non dipende dalle dimensioni della sfera ma è uguale per tutte le galassie,
qualunque sia la galassia che poniamo al centro della sfera. Dipendentemente dalla
costante di Hubble e dalla densità cosmica, quindi, ogni galassia che si muova secondo
la Legge di Hubble o supererà la velocità di fuga ed evaderà dalla sfera oppure
ancora avrà una velocità inferiore e tenderà a cadere nella sfera.
La densità critica è quindi il valore della densità cosmica in corrispondenza del
quale la velocità di fuga di ciascuna galassia eguaglia la velocità indicata dalla
Legge di Hubble.
La densità critica può dipendere solo dalla costante di Hubble e, di fatto, è in
un rapporto di proporzionalità semplice con il quadrato della costante di Hubble.
UNIVERSO SFERICO
Universo chiuso, di forma sferica. Finito ma senza un confine.
Il modello originario di Fridman
prevede che l'espansione avvenga ad una velocità non elevatissima, almeno non sufficientemente
da far durare l'espansione in eterno. In tal caso, quindi, si assisterà al momento
in cui l'espansione verrà prima arrestata dall'attrazione gravitazionale esercitata
dalla massa
che compone l'universo e poi le galassie saranno costrette a tornare ad avvicinarsi
in una fase di contrazione dell'universo. Quindi, le galassie sono partite da un
unico punto, raggiungono il punto di allontanamento massimo e cominciano a convergere
di nuovo verso un unico punto azzerando le distanze. Il modello
originario di Fridman
presenta una importante implicazione: l'universo è finito ma, espandendosi fino
al punto di massimo verso ogni direzione, assume una forma sferica che fa si che
non abbia un confine. E' come camminare sulla Terra: non è infinita ma essendo sferica
se iniziamo a camminarci sopra non giungiamo mai ad un punto in cui la Terra termina.
Stessa cosa per l'universo.
Un universo simile avrebbe come fine possibile quella di un ritorno alla singolarità
di partenza, un Big Crunch. Lo spazio, in tal caso, viene ad assumere una
curvatura positiva dove il centro della sfera è presente nella terza dimensione
e non sulla superficie che rappresenta lo spazio.
UNIVERSO A SELLA
Universo a curvatura negativa, che assume la forma a "sella"
Altre possibili soluzioni alle equazioni di Einstein elaborate da Fridman portano
ad altri due modelli.
Nel secondo modello di Fridman l'espansione avviene ad una velocità
talmente elevata che l'attrazione gravitazionale esercitata dalla massa dell'universo
non può arrestarla, ma al massimo rallentarla. Anche in questo modello, la distanza
iniziale tra le galassie era uguale a zero ma alla fine queste non convergono di
nuovo ma continuano ad allontanarsi le une dalle altre ad una velocità costante.
In tali ipotesi, l'universo è curvato negativamente assumendo una forma a sella.
La presenza di energia oscura provocherebbe addirittura una espansione
accelerata dell'universo. La fine di un universo in continua espansione sarebbe
data dalla morte termica o da un Big Rip. In tal
caso, l'universo avrebbe una curvatura negativa.
UNIVERSO PIATTO
Universo piatto, con estensione infinita in tre dimensioni.
Nel terzo modello di Fridman,
infine, la velocità di espansione dell'universo è appena sufficiente ad evitare
la contrazione dovuta all'attrazione gravitazionale, il che equivale a dire che
la densità reale dell'universo è pari esattamente alla densità critica oltre la
quale l'universo torna a comprimersi. Come nel secondo modello, la distanza tra
le galassie parte da zero ed aumenta all'infinito ma stavolta la velocità alla quale
l'allontanamento avviene tende a zero senza tuttavia raggiungerlo mai. In tali condizioni
l'universo ha una forma piatta e la fine alla quale può andare incontro è simile
a quella vista nel secondo modello. Si parla in tal caso di universo piatto:
nello spazio a curvatura nulla ha estensione infinita in ogni direzione, in tre
dimensioni.
IL PROGRAMMA DI HUBBLE
RELAZIONE DISTANZA - ETA' DELL'UNIVERSO
Espansione e contrazione dell'universo - La distanza tra galassie tipiche
(cioè galassie prive di moto proprio, che si muovono solo trasportate dall'universo)
è in funzione del tempo per due possibili modelli cosmologici. Il primo rappresentato
dalla curva aperta mostra un universo infinito, con densità minore della densità
critica: l'espansione rallenta ma non termina; il secondo mostra un universo finito,
con densità maggiore della densità critica che arresterà l'espansione determinando
infine una contrazione.
La precisa dipendenza dal tempo delle dimensioni dell'universo (distanza tra due
galassie qualsiasi) può essere determinata ricorrendo a ragionamenti simili, seppur
con risultati molto complessi.
Nel periodo iniziale, le dimensioni dell'universo variavano in ragione di una potenza semplice del tempo:
la potenza di due terzi se la densità di radiazione era trascurabile, la potenza di un mezzo se la densità di
radiazione superava quella della materia.
L'unico aspetto dei modelli di Fridman che non può prescindere dall'uso della relatività generale è invece
il rapporto tra la densità dell'universo e la sua geometria: l'universo è infinito e aperto, o chiuso e finito,
a seconda che la velocità delle galassie sia maggiore o minore della velocità di fuga.
Un modo per stabilire questo rapporto tra le velocità consiste nel misurare il ritmo di rallentamento delle
galassie. Se la decelerazione è minore (o maggiore) di una certa soglia, la velocità di fuga viene (o non viene)
superata. In pratica, occorre verificare la curva di spostamento verso il rosso in funzione della distanza per galassie
molto lontane. Procedendo da un universo finito, più denso, ad uno infinito, meno denso, la curva dello spostamento
verso il rosso in funzione della distanza tende a diventare sempre più piatta per distanze molto grandi.
Lo studio della forma della curva è nota come Programma di Hubble.
RELAZIONE REDSHIFT - DISTANZA
Programma di Hubble: Lo spostamento verso il rosso (redshift) in
funzione della distanza per quattro possibili teorie cosmologiche.
Le curve a (densità doppia di quella critica), b
(densità pari a quella critica) e c (densità zero) sono calcolate
nel modello di Fridman usando le equazioni di campo di Einstein per un universo
dominato dalla materia e privo di costante cosmologica. Corrispondono rispettivamente
ad un universo chiuso, ad un universo appena aperto e ad un universo aperto.
La curva d corrisponde alle teorie per le quali l'universo non
varia con il tempo. Tutte le curve sono state disegnate utilizzando un valore di
15 km/s per la costante di Hubble. Al progetto hanno dedicato molti sforzi
Hubble, Sandage e altri studiosi recenti, con risultati inconcludenti. Il problema
è che la stima delle distanze di galassie lontane è molto suscettibile di errori visto che oltre
certi limiti le cefeidi non bastano più e bisogna basarsi sulla luminosità apparente delle galassie stesse.
Ma chi ci garantisce che le galassie hanno tutte la stessa luminosità assoluta? Si può incappare in gravi
errori di selezione delle galassie che possono alterare i risultati: più guardiamo lontano, e più
tendiamo ad utilizzare galassie di luminosità assoluta sempre maggiore (altrimenti non sarebbero
visibili!). In più: osservando galassie molto lontane, le vediamo per come erano miliardi di anni fa e se
a quel tempo le galassie erano più luminose di adesso ne sottostimiamo la distanza.
A parte questi problemi, i dati del programma di Hubble sembrano oggi spingere verso una decelerazione
galattica sembra decisamente scarsa: ne segue che le galassie si stanno allontanando a velocità maggiori
rispetto a quella di fuga, con il risultato che l'unvivrso sarebbe aperto e destinato ad una espansione
infinita. In effetti anche la materia visibile nell'universo sembra abbondantemente inferiore alla densità
critica, ma su questo ci sono molti dubbi aperti che vanno da un possibile gas intergalattico di idrogeno
ionizzato alla materia oscura.
Per i problemi legati all'inizio dell'universo, invece, i problemi sono minori visto che quando guardiamo
indietro un limite lo abbiamo, una sorta di orizzonte oltre il quale non ha senso guardare.
Nessun segnale può viaggiare a velocità maggiori di quella della luce quindi possiamo studiare soltanto gli
eventi che si sono manifestati a distanze temporali tali per le quali la luce abbia avuto modo di raggiungerci.
Per eventi antecedenti non è possibile vedere nulla: non ci sono effetti su di noi.
Se l'universo ha una età di 10 miliardi di anni, l'orizzonte si trova a 30 miliardi di anni luce, ma quando
l'universo aveva pochi minuti di vita l'orizzonte si trovava a pochi minuti-luce. L'universo allora era decisamente
più piccolo e la distanza tra due corpi scelti a caso era molto inferiore a quella attuale. Andando con lo sguardo
verso il principio dell'universo, tuttavia, la distanza rispetto all'orizzonte diminuisce più rapidamente delle dimensioni
dell'universo. Le dimensioni dell'universo sono proporzionali alla potenza di un mezzo o due terzi del tempo, mentre la
distanza dell'orizzonte è in proporzione semplice col tempo in modo che, per tempi sempre più vicini al principio,
l'orizzonte cinge una parte sempre più piccola dell'universo.
L'universo è rappresentato qui come una sfera, con un principio nel punto più alto.
L'immagine mostra l'universo in quattro momenti differenti separati da uguale intervallo
di tempo. L'orizzonte di un punto P posto proprio sopra ciascuna sfera è la distanza
oltre la quale i segnali di luce non hanno avuto ancora il tempo di giungere al
punto P ed è mostrato dalla linea che taglia ciascuna sfera. La distanza del punto
P dall'orizzonte cresce in proporzione diretta al tempo. Il raggio dell'universo,
invece, cresce come la radice quadrata del tempo e di conseguenza, andando a ritroso
nel tempo avvicinandoci sempre di più all'inizio dell'universo, l'orizzonte cinge
una porzione dell'universo sempre più piccola.
La conseguenza del restringimento di orizzonti nei primi minuti dell'universo è che la curvatura dell'universo stesso
nel suo insieme risulta sempre meno differenziata man mano che il nostro occhio si spinge verso tempi più remoti.
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Cosa abbiamo visto finora? |
In conclusione di tutto il discorso, abbiamo scoperto che l'universo si sta espandendo in modo isotropo
ed uniforme: lo stesso modello di espansione si presenta a tutti gli osservatori sparsi nelle galassie tipiche
dell'universo, in qualsiasi direzione si guardi.
Con l'espansione le lunghezze d'onda dei raggi luminosi si stirano in proporzione alla distanza tra le galassie.
L'espansione non è dovuta a repulsione cosmica ma è l'effetto delle velocità residue derivanti da una esplosione
avvenuta nei tempi passati.
Queste velocità vanno rallentando gradualmente sotto l'influsso della gravità, ma l'accelerazione negativa
è molto lenta, suggerendoci che la densità dell'universo è bassa e che il suo campo gravitazionale sia troppo
debole per limitare l'universo e per invertirne l'espansione.
I calcoli che sono stati portati avanti indicano che l'espansione deve aver avuto inizio tra 10 e 20 miliardi
di anni fa.
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